[Ланцюгове міркування ①] Основи: Сильні та слабкі зв'язки
Ланцюгове міркування — це основна теоретична база для просунутих технік Судоку. Майже всі просунуті техніки елімінації — від простого X-Wing до складних AIC — можна зрозуміти та описати через ланцюгове міркування. Ця стаття досліджує дві найфундаментальніші концепції ланцюгового міркування: Сильні зв'язки та Слабкі зв'язки.
Що таке ланцюг?
У Судоку ланцюг — це послідовність з'єднань, сформованих між кандидатами через певні логічні відносини. Уявіть: якщо ми можемо встановити відносини міркування на кшталт «якщо A істинне, то B істинне/хибне» між кандидатами та з'єднати ці відносини разом, ми формуємо ланцюг.
Суть ланцюга — це логічне поширення: починаючи з однієї точки, через серію логічних дедукцій, досягаємо висновку. Цей висновок зазвичай використовується для:
- Визначення, що кандидат має бути істинним (підтвердження розміщення)
- Визначення, що кандидат має бути хибним (елімінація кандидата)
Щоб зрозуміти ланцюги, ми повинні спочатку зрозуміти базові одиниці, що формують ланцюги: Зв'язки. Зв'язки описують логічні відносини між двома кандидатами, поділяючись на сильні та слабкі залежно від сили відносин.
Сильний зв'язок
Сильний зв'язок існує між двома кандидатами A і B тоді і тільки тоді, коли: рівно один з A і B є істинним, а інший хибним.
Іншими словами, якщо A хибне, то B має бути істинним, і якщо A істинне, то B має бути хибним (взаємовиключні та повні).
Позначення: A = B або A ═══ B (подвійна лінія)
Джерела сильних зв'язків
Сильні зв'язки можуть походити з наступних ситуацій:
1. Сильний зв'язок у двозначній клітинці
Коли клітинка має лише двох кандидатів, сильний зв'язок існує між цими двома кандидатами.
Логіка: Якщо 4 хибне, клітинка має бути 7; якщо 7 хибне, клітинка має бути 4.
Двозначні клітинки є найпоширенішим джерелом сильних зв'язків, оскільки вони інтуїтивні: клітинка є або цим числом, або тим.
2. Сильний зв'язок від спряженої пари
Коли цифра з'являється лише у двох позиціях в межах одиниці (рядка, стовпця або квадрата), сильний зв'язок існує між цим кандидатом у цих двох позиціях. Ці відносини називаються Спряженою парою.
Логіка: Рядок 5 повинен мати 3. Якщо R5C2 не є 3, R5C8 має бути 3; і навпаки.
Два кінці сильного зв'язку спряженої пари — це та сама цифра в різних позиціях, а не різні цифри в тій самій позиції. Це фундаментально відрізняється від сильних зв'язків у двозначних клітинках.
3. Груповий сильний зв'язок
Ширше кажучи, коли група кандидатів та інша група кандидатів задовольняють відношення «рівно одна група є істинною», існує сильний зв'язок. Це буде розглянуто в просунутих техніках і детально обговорено в третій статті цієї серії.
Основні властивості сильних зв'язків
- Рівно один істинний: Рівно один кінець сильного зв'язку є істинним, інший хибним
- Хибність поширює істину: Якщо один кінець хибний, інший має бути істинним
- Істина поширює хибність: Якщо один кінець істинний, інший має бути хибним
Слабкий зв'язок
Слабкий зв'язок існує між двома кандидатами A і B тоді і тільки тоді, коли: якщо A істинне, то B має бути хибним.
Іншими словами, щонайбільше один з A і B є істинним (обидва можуть бути хибними, але обидва не можуть бути істинними).
Позначення: A - B або A ─── B (одинарна лінія)
Джерела слабких зв'язків
Слабкі зв'язки також мають кілька джерел:
1. Слабкий зв'язок між різними кандидатами в тій самій клітинці
У тій самій клітинці слабкий зв'язок існує між будь-якими двома різними кандидатами.
Логіка: Клітинка може містити лише одне число. Якщо розмістити 1, це не може бути 5.
2. Слабкий зв'язок між однаковими кандидатами в тій самій одиниці
У тій самій одиниці (рядку, стовпці або квадраті) слабкі зв'язки існують попарно між усіма позиціями того самого кандидата.
Логіка: Цифра може з'явитися лише один раз у квадраті. Якщо R1C7 є 6, то R2C8 і R3C9 не можуть бути 6.
Порівняно з сильними зв'язками, слабкі зв'язки більш всюдисущі. Фактично, базові правила Судоку (немає повторюваних цифр у рядку, стовпці чи квадраті; одна цифра на клітинку) по суті визначають велику кількість відносин слабких зв'язків.
Основні властивості слабких зв'язків
- Щонайбільше один істинний: Щонайбільше один кінець слабкого зв'язку є істинним
- Істина поширює хибність: Якщо один кінець істинний, інший має бути хибним
- Можуть бути обидва хибними: Обидва кінці можуть бути хибними одночасно (на відміну від сильних зв'язків!)
Порівняння сильних і слабких зв'язків
Розуміння різниці між сильними та слабкими зв'язками є ключем до опанування ланцюгового міркування. Підсумуємо порівняльною таблицею:
| Властивість | Сильний зв'язок | Слабкий зв'язок |
|---|---|---|
| Основна властивість | Рівно один істинний, один хибний | Щонайбільше один істинний |
| Логічне поширення | Хибність → Істина, Істина → Хибність | Істина → Хибність |
| Чи можуть обидва бути істинними | ✗ Ні | ✗ Ні |
| Чи можуть обидва бути хибними | ✗ Ні | ✓ Так |
| Позначення | ═══ (подвійна лінія) або = | ─── (одинарна лінія) або - |
| Поширені джерела | Двозначні клітинки, Спряжені пари | Різні цифри та сама клітинка, Та сама цифра та сама одиниця |
Особливий випадок: Сильні зв'язки також є слабкими
Ось важлива концепція для розуміння: Сильні зв'язки часто також є слабкими зв'язками.
Перспектива сильного зв'язку: Якщо 4 хибне, 7 має бути істинним → Сильний зв'язок існує
Перспектива слабкого зв'язку: Якщо 4 істинне, 7 має бути хибним → Слабкий зв'язок також існує
Висновок: Ці два кандидати мають і сильний, і слабкий зв'язок!
Перспектива сильного зв'язку: Якщо 3 у R5C2 хибне, 3 у R5C8 має бути істинним → Сильний зв'язок існує
Перспектива слабкого зв'язку: Якщо 3 у R5C2 істинне, 3 у R5C8 має бути хибним (той самий рядок не може мати дві 3) → Слабкий зв'язок також існує
Висновок: Спряжені пари також задовольняють умови і сильного, і слабкого зв'язку!
Коли два кандидати задовольняють відношення «рівно один істинний, один хибний» (ні обидва не можуть бути істинними, ні обидва не можуть бути хибними), вони мають і сильний, і слабкий зв'язок. Це «найсильніше» відношення зв'язку і дуже корисне при побудові ланцюгів.
Підказка для запам'ятовування: Двозначні клітинки та спряжені пари завжди мають і сильні, і слабкі зв'язки.
Концепція «бачення»
У ланцюговому міркуванні концепція «бачення» (see) часто використовується. Розуміння «бачення» є вирішальним для ідентифікації відносин зв'язків.
Кандидат A «бачить» кандидата B означає, що між A і B є слабкий зв'язок.
Якщо A істинне, то B має бути хибним — A може «елімінувати» B.
Відносини «бачення» існують між:
- Різними кандидатами в тій самій клітинці
- Тим самим кандидатом у тому самому рядку
- Тим самим кандидатом у тому самому стовпці
- Тим самим кандидатом у тому самому квадраті
Ця концепція буде часто використовуватися при обговоренні застосувань ланцюгів, таких як «кандидати, яких бачать обидва кінці, можуть бути елімінованими».
Чому розрізнення сильних і слабких зв'язків таке важливе?
Розрізнення між сильними та слабкими зв'язками є наріжним каменем ланцюгового міркування. Їхні відмінності визначають:
Сильні зв'язки дозволяють виводити «істину» з «хибності»; слабкі зв'язки дозволяють виводити «хибність» з «істини». Ланцюгове міркування використовує ці два різні напрямки поширення для побудови складних логічних дедукцій.
При побудові ланцюгів ви повинні правильно ідентифікувати, чи кожен крок є сильним чи слабким зв'язком, щоб забезпечити правильне міркування. Помилкове трактування слабкого зв'язку як сильного призведе до хибних висновків.
Багато, здавалося б, різних технік (таких як X-Wing, Skyscraper, XY-Wing тощо) по суті є ланцюгами з певними патернами. Розуміння сильних і слабких зв'язків дозволяє вам осягнути ці техніки в уніфікованій структурі.
Наступні кроки
Ця стаття представила два найфундаментальніші поняття ланцюгового міркування: сильні та слабкі зв'язки. З розумінням цих концепцій ми можемо почати вчитися, як їх комбінувати для побудови повних ланцюгів.
У наступній статті ми обговоримо:
- Як чергувати сильні та слабкі зв'язки для побудови ланцюгів
- Правила поширення станів істина/хибність у ланцюгах
- Підхід «розфарбовування» в ланцюговому міркуванні
- Методи виведення висновків з кінців ланцюга
- Глосарій Судоку - Швидкий довідник термінів, використаних у цій статті
- Техніка XY-Wing - Практичне застосування ланцюгового міркування
- Техніка XY-Chain - Розширене застосування ланцюгів двозначних клітинок